Związek między stałą K we wzorze na prawo Hooke’a, a stałą sprężystości

Pomimo bardzo podobnych oznaczeń, stała sprężystości k (małe „ka”) i stała K (wielkie „Ka”) we wzorze na prawo Hooke’a są całkowicie różnymi wielkościami – mają różne wartości, jednostki i zastosowanie. Jedno co je łączy, to fakt, że dotyczą zjawiska sprężystości.

Znajdziemy teraz związek między tymi stałymi dla jedynego przypadku, gdy związek ten ma jakiś sens fizyczny, czyli dla odkształceń prętów, drutów itp..

Weźmy się za wzór na prawo Hooke’a:

Ponieważ we wzorze na stałą sprężystości Dl = x, więc w tych zmiennych prawo to będzie miało postać:

 

Trzeba doprowadzić ten wzór do postaci wzoru na siłę potrzebną do rozciągnięcia sprężyny, czyli: Fspr = k · x

Dlatego podzielimy obie strony prawa Hooke’a przez czynnik stojący przy F (a właściwie pomnożymy przez odwrotność tego czynnika).

Otrzymamy:

Po zamianie strony równania otrzymamy wzór w postaci:

 

Przepiszę jeszcze raz ten wzór wyróżniając nawiasem kwadratowym ułamek przed x

 

Jest to wyraźnie odpowiednik wzoru:

Fspr = k · x

Jedyną różnicą jest, że wartość k wyraża się tu w sposób nieco bardziej skomplikowany:

 

I tu widać ostatecznie związek pomiędzy obiema stałymi „ka”:


Arystoteles był pierwszym uczonym Starożytności, który stworzył próbę połączenia znanej fizyki w całość. Faktem jest, że nie specjalnie mu się to udało.
Dziś sformułowane przez niego prawa fizyki służą za modelowy przykład błędnych koncepcji...

Okazuje się więc, że stałe te nie tylko nie są sobie równe. 
One nawet nie są do siebie proporcjonalne
(są wręcz odwrotnie proporcjonalne)!  Dodatkowo zależą jeszcze od siebie poprzez S i l0.

Związek k z modułem Younga

A jaki jest związek stałej k (małe k, czyli stałej sprężystości), z modułem Younga?

Moduł Younga zależy od K według wzoru:

Jeśli pomnożymy obie strony tego równania przez iloczyn E K, to otrzymamy wzór na K:

Podstawimy ten wzór wzoru wyprowadzonego poprzednio:

Jak z tego widać stała sprężystości k jest proporcjonalna do modułu Younga materiału, z którego wykonano pręt czy drut..