Działania na wektorach

W poniższej tabeli zgromadzono (opisywane także w innych rozdziałach) operacje na wektorach.

rodzaj działania	zapis i typ wielkości wynikowej	opis wielkości wynikowej
Dodawanie wektorów	Żeby dodać dwa wektory, gdy znamy ich współrzędne, należy dodać odpowiednie współrzędne - x-owe do x-owych, a y-owe do y-owych (ew. z-owe do z-owych). Na płaszczyźnie (w_x, w_y) + (u_x, u_y) = (w_x+u_x, w_y+u_y) W przestrzeni (w_x, w_y, w_z ) + (u_x, u_y, u_z) = (w_x+u_x, w_y+u_y, w_z + u_z)	W odróżnieniu od dodawania liczb całkowitych wektor-suma wcale nie musi być dłuższy od któregoś z wektorów wyjściowych, a często bywa krótszy. Suma dwóch wektorów może być też wektorem zerowym (mimo, że wektory wyjściowe miały długości różne od zera) Zachodzi to w dwóch przypadkach: - oba sumowane wektory są zerowe - dodawane wektory są przeciwne - tzn. mają ten sam kierunek i wartość, ale przeciwne zwroty. Patrz także: Dodawanie graficzne wektorów oraz Dodawanie algebraiczne wektorów, Siła.
Odejmowanie wektorów	Żeby odjąć dwa wektory, gdy znamy ich współrzędne, należy odjąć odpowiednie współrzędne - x-owe od x-owych, a y-owe od y-owych (ew. z-owe od z-owych). Na płaszczyźnie (w_x, w_y) - (u_x, u_y) = (w_x- u_x, w_y - u_y) W przestrzeni (w_x, w_y, w_z ) - (u_x, u_y, u_z) = (w_x - u_x, w_y - u_y, w_z - u_z)	Wektor-różnica wcale nie musi być krótszy od pierwszego z wektorów wyjściowych. Może być dłuższy. Różnica dwóch wektorów jest równa zero (jest wektorem zerowym) w dwóch przypadkach: oba odejmowane wektory są zerowe odejmowane wektory są równe - tzn. mają ten sam kierunek, zwrot i wartość. Patrz też: Dodawanie graficzne wektorów oraz Dodawanie algebraiczne wektorów.
mnożenie wektora przez liczbę Tak samo dzielenie przez liczbę.	otrzymujemy nowy wektor Aby wektor podzielić przez liczbę, mnożymy go przez odwrotność tej liczby	powstaje wektor a razy dłuższy od wektora wyjściowego. Zwrot wektora wynikowego jest: - taki sam jak wyjściowy, gdy a jest dodatnie - przeciwny do wyjściowego, gdy a jest ujemne Wynik może być równy zero (będzie tzw. wektorem zerowym) gdy: - wektor wyjściowy jest równy zero, lub - liczba a jest równa zero
mnożenie skalarne wektorów	otrzymujemy skalar	Powstaje liczba (skalar) o wartości równej iloczynowi wartości obu wektorów razy kosinus kąta między nimi zawartego. Lub inaczej: Iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości jednego wektora mnożonego przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor (skomplikowane jest to zdanie, ale prościej chyba się nie da...). Dokładniej wyjaśnione jest to w dziale Energia przy omawianiu pracy. Iloczyn skalarny stanie się równy Zero, gdy którykolwiek z wektorów wyjściowych jest zerowy, lub wektory są do siebie prostopadłe. Patrz także: Mnożenie skalarne wektorów.
mnożenie wektorowe wektorów (stosuje się wyłącznie do wektorów w trzech wymiarach)	otrzymujemy nowy wektor prostopadły do obu wektorów wyjściowych. Długość (wartość) tego wektora wynosi: Uwaga: tak naprawdę efektem mnożenia wektorowego wektorów jest tensor... Ale w uproszczeniu możemy go traktować jako wektor a właściwie tzw. "pseudowektor".	- wartość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych razy sinus kąta między nimi zawartego (ma to sens tylko w trzech wymiarach); - kierunek wektora wynikowego jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe; - zwrot ustalamy w oparciu o regułę śruby prawoskrętnej Interpretacja iloczynu wektorowego 2: Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora. Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest zerowy, lub gdy wyjściowe wektory są równoległe.
znajdowanie wartości (długości) wektora gdy znamy jego współrzędne	Długość wektora na płaszczyźnie obliczamy stosując twierdzenie Pitagorasa. Żeby obliczyć wartość wektora trójwymiarowego trzeba zastosować to twierdzenie dwa razy.	Długość wektora jest równa zero tylko wtedy, gdy wszystkie współrzędne wektora są równe zero (ew. patrz wektor zerowy). Jeśli wektor podany jest w postaci rysunkowej, to trzeba zmierzyć długość strzałki tego wektora, a następnie pomnożyć przez skalę w jakiej został narysowany - np. jeśli centymetr oznacza 3 m/s, to wektor 5 centymetrowy oznacza prędkość o wartości 15 m/s. Patrz także: Wartość wektora